Limite en l'infini :
Soit \(f:I\to\Bbb R\) une fonction définie sur un intervalle \(I=]a,+\infty[\)
Soit \(l\in\Bbb R\)
On dit que \(f\) a pour limite \(l\) en \(+\infty\) si $$\forall\epsilon\gt 0,\exists B\gt 0\text{ tq }\forall x\in I, x\gt B\Longrightarrow \lvert f(x)-l\rvert\lt \epsilon$$
Notation : \(\underset{x\to+\infty}{\lim}f(x)=l\)
Définition : on dit que \(f\) a pour limite \(+\infty\) en \(+\infty\) si $$\forall A\gt 0,\exists B\gt 0\text{ tq } \forall x\in I, x\gt B\Longrightarrow f(x)\gt A$$
Notation : \(\underset{x\to+\infty}\lim f(x)=+\infty\)
Critère de Cauchy
Théorème de comparaison
Définition :
Soit \(f:]a,+\infty[\to\Bbb R\)
On dit que \(f(x)\) tend vers \(\ell\in\Bbb R\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) si \(\forall\varepsilon\gt 0,\exists M\geqslant a\) tq $$x\gt M\implies\lvert f(x)-\ell\rvert\lt \varepsilon$$
On notera alors \(\underset{x\to +\infty}\lim f(x)=\ell\)
Définition :
Soit \(f:]a,+\infty[\to\Bbb R\)
On dit que \(f(x)\) tend vers \(+\infty\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\) si \(\forall A\in\Bbb R,\exists M\geqslant a\) tq $$x\gt M\implies f(x)\gt A$$
On notera alors \(\underset{x\to +\infty}\lim f(x)=+\infty\)
